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Algebra, WS 2009, Edition: version 8 Feb 2010 by Martin Goldstern

By Martin Goldstern

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An ) ∈ An . Dann ist die Abbildung n Ea : AA → A, f → f (a) ein Homomorphismus. 6 Lemma (Einsetzungshomomorphismus mit variablem Parameter). Sei A Algebra, n AA die n-stellige Funktionenalgebra. n Dann gibt es einen (eindeutig bestimmten) Homomorphismus ϕ : T(x1 , . . , xn ) → AA , der jeder Variable xk die k-te Projektion πkn zuordnet. ϕ / AAn www www Ea w ϕa www ww&  T(x1 , . . 7 Anmerkung. h. eine Funktion von An nach A. Sei a ∈ An . Dann k¨onnen wir ϕ(t) an der Stelle a = (a1 , . .

G heißt inneres direktes Produkt von U und V genau dann, wenn die Abbildung ϕ: U ×V →G (u, v) → uv ein Isomorphismus von U × V auf G ist. 11 Beispiel. Seien G1 und G2 Gruppen mit neutralem Element e1 bzw e2 . Dann sind U := G1 × {e2 } und V := {e1 } × G2 Untergruppen von G := G1 × G2 , und G ist das direkte Produkt von U und V . Wir verallgemeinern diese Definition auf das Produkt von endlich vielen Gruppen. 12 Definition. Sei G Gruppe, U1 , . . , Un Untergruppen von G. Dann heißt G inneres direktes Produkt von U1 , .

50 Da man bei gewissen Symbolen (wie +, ·) traditionellerweise Infixnotation verwendet, vereinbaren wir, dass der Ausdruck x + y eine inoffizielle Schreibweise f¨ ur den Term +xy ist; bei komplizierteren Termen m¨ ussen wir in der Infixnotation Klammern einf¨ uhren. Die Menge X ist meistens eine gen¨ ugend große“ endliche Menge, gelegentlich auch die ” abz¨ahlbare Menge {x1 , x2 , . . }. Jeder Term verwendet nat¨ urlich nur endlich viele dieser Variablen. , wenn die Menge I h¨ ochstens abz¨ ahlbar ist), dann ist die Menge T(X) eine abz¨ahlbare3 Menge.

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